关于PSD矩阵积和式的可近似性

我们研究正半定矩阵$A\in \mathbb{C}^{n\times n}$的积和式逼近的复杂性。1. 我们设计了一个新的近似算法，近似比为$e^{(0.9999 + \gamma)n}$，指数级改进了当前最佳界$e^{(1+\gamma-o(1))n}$ [AGOS17,YP22]。这里$\gamma \approx 0.577$是欧拉常数。2. 我们证明对于任意$\epsilon>0$，在因子$e^{(\gamma-\epsilon)n}$内逼近$\mathrm{per}(A)$是NP难的。这是该问题的第一个指数级难度近似结果。在此过程中，我们证明了对于所有$-1 < q < 2$，矩阵的$\|\cdot\|_{2\to q}$“范数”问题的最优难度近似结果。