关于正半定锥的多面体逼近

设 $D$ 为迹等于一的 $n\times n$ 正半定矩阵的集合，也称为密度矩阵集合。我们证明关于用多面体逼近 $D$ 的困难性的两个结果。首先，我们表明若 $0 < \epsilon < 1$ 且 $A$ 为迹等于一的任意矩阵，则任何满足 $(1-\epsilon)(D-A) \subset P \subset D-A$ 的多面体 $P$ 的线性规划扩展复杂度至少应为 $\exp(c\sqrt{n})$，其中 $c > 0$ 为依赖于 $\epsilon$ 的常数。其次，我们表明任何满足 $D \subset P$ 且 $P$ 的高斯宽度至多两倍于 $D$ 的高斯宽度的多面体 $P$ 的扩展复杂度至少应为 $\exp(cn^{1/3})$。我们证明的主要要素是超立方体上噪声算子的超收缩性。