Bowditch 紧谱与群的维数

对于有限生成群 $G$，令 $H(G)$ 表示 Bowditch 的紧回路长度谱。我们证明若 $G=(A\ast B) / \langle\!\langle \mathcal R \rangle\!\rangle$ 是有限生成群的自由积的 $C'(1/12)$ 小消去商，则 $H(G)$ 等价于 $H(A) \cup H(B)$。我们利用此结果连同上同调维数与几何维数的界，以及 Bowditch 构造的连续多个非拟等距 $C'(1/6)$ 小消去 $2$-生成群，得到主要结果：令 $\mathcal{G}$ 表示有限生成群类。以下子类包含连续多个一端非拟等距群：$\bullet\left\{G\in \mathcal{G} \colon \underline{\mathrm{cd}}(G) = 2 \text{ 且 } \underline{\mathrm{gd}}(G) = 3 \right\}$ $\bullet\left\{G\in \mathcal{G} \colon \underline{\underline{\mathrm{cd}}}(G) = 2 \text{ 且 } \underline{\underline{\mathrm{gd}}}(G) = 3 \right\}$ $\bullet\left\{G\in \mathcal{G} \colon \mathrm{cd}_{\mathbb{Q}}(G)=2 \text{ 且 } \mathrm{cd}_{\mathbb{Z}}(G)=3 \right\}$ 在证明上述结果的过程中，我们表明上述定义的类在取自由积的相对有限表示 $C'(1/12)$ 小消去商下是封闭的，特别地，这给出了展现族上的 Eilenberg-Ganea 现象的新群例子。我们还表明，若存在有限表示的 Eilenberg-Ganea 猜想反例，则存在连续多个有限生成一端非拟等距反例。