关于群扩张的Bohr紧化与有限完备化

设 $G= N\rtimes H$ 为一个局部紧群，它是闭正规子群 $N$ 与闭子群 $H$ 的半直积。群 $G$ 的 Bohr 紧化 ${\rm Bohr}(G)$ 与有限完备化 ${\rm Prof}(G)$ 分别同构于半直积 $Q_1 \rtimes {\rm Bohr}(H)$ 与 $Q_2 \rtimes {\rm Prof}(H)$，其中 $Q_1$ 与 $Q_2$ 分别为 ${\rm Bohr}(N)$ 与 ${\rm Prof}(N)$ 的适当商群。我们借助 $H$ 在 $N$ 的对偶空间适当子集上的作用，给出了 $Q_1$ 与 $Q_2$ 的精确描述。在 $N$ 为阿贝尔群的情形下，我们有 ${\rm Bohr}(G)\cong A \rtimes {\rm Bohr}(H)$ 与 ${\rm Prof}(G)\cong B \rtimes {\rm Prof}(H)$，其中 $A$ 为 $N$ 的具有有限 $H$-轨道的西特征标群，$B$ 为 $A$ 中像有限的那些特征标组成的子群。我们推导了 $G$ 为极大几乎周期群或剩余有限群的充要条件。我们将结果应用于 $G= \Lambda\wr H$ 为可数群的圈积之情形；特别地，我们证明了 ${\rm Bohr}(\Lambda\wr H)$ 同构于 ${\rm Bohr}(\Lambda^{\rm Ab}\wr H)$，且 ${\rm Prof}(\Lambda\wr H)$ 同构于 ${\rm Prof}(\Lambda^{\rm Ab} \wr H)$，其中 $\Lambda^{\rm Ab}=\Lambda/ [\Lambda, \Lambda]$ 为 $\Lambda$ 的阿贝尔化。作为例子，我们计算了当 $G$ 为提灯者群以及当 $G$ 为一元交换环上的 Heisenberg 群时的 ${\rm Bohr}(G)$ 与 ${\rm Prof}(G)$。