Siegel 盘的边界：其动力学和正则性的数值研究

Siegel 盘是全纯映射不动点周围的区域，在该区域内映射是局部线性化的（即在原点邻域内解析的适当坐标变换下变为旋转）。映射迭代在 Siegel 盘边界上的动力学行为表现出强烈的标度性质，这在物理和数学文献中得到了深入研究。在我们研究的情况中，Siegel 盘的边界是一条包含映射临界点的 Jordan 曲线（我们考虑不同阶数的临界映射），并且存在一种自然参数化，可将边界上的动力学变换为旋转。我们数值计算了这种参数化，并利用调和分析方法计算了不同映射和旋转数下参数化的全局 Hölder 正则性。我们发现，在重整化理论意义上，边界的正则性和标度指数是普适常数（即当映射在开集范围内变化时，它们不依赖于映射），仅取决于 Siegel 盘边界上映射临界点的阶数以及旋转数连分数展开的尾部。我们还讨论了边界参数化的正则性与相应标度指数之间可能存在的关系。