Bott 可积性与高阶可积性;高阶 Cheeger-Simons 与 Godbillon-Vey 不变量

本文研究 $C^\infty$ 流形 $M$ 的 $\pi_1(M)$ 与 Bott 原始可积性阻碍,以及与叶状结构相关的 Godbillon-Vey 和 Cheeger-Simons 等微分几何不变量的相互作用。我们证明,若流形切丛的可积子丛 $E$ 的基本群满足 Novikov 猜想,则其高阶 Pontrjagin 类和高阶 Chern 类环在维数 $2k$ 以上消失,其中 $k=dim(TM/E)$,且高阶 Pontrjagin 和 Chern 环分别是由 $i^*y \cup p_j(TM/E)$ 和 $i^*y \cup c_j(TM/E)$ 生成的环,这里 $p_j$ 为第 $j$ 个 Pontrjagin 类,$c_j$ 为第 $j$ 个 Chern 类,$i:M \to B\pi$ 且 $\pi=\pi_1(BG)$,其中 $BG$ 为对应于 $E$ 的 holonomy groupoid 的分类空间,$y \in H^*(B\pi)$。此外,我们证明由 $i^*x \cup p_j(TM/E)$ 和 $i^*x \cup c_j(TM/E)$ 生成的高阶 Pontrjagin 和 Chern 环如前但取 $i:M \to BG$、$BG$ 同上且 $x \in H^*(BG)$ 时亦消失,前提是 $(M,\mathcal{F})$ 满足叶状 Novikov 猜想,其中 $\mathcal{F}$ 为切丛为 $E$ 的叶状结构。我们给出该阻碍以及高阶 Godbillon-Vey 和 Cheeger-Simons 不变量的例子。