单连通域上 Banach 空间的 Bohr 半径

设 $H^{\infty}(\Omega,X)$ 为从包含单位圆盘 $\mathbb{D}:=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ 的适当单连通域 $\Omega$ 到复 Banach 空间 $X$ 的有界解析函数 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x_{n}z^{n}$ 的空间，且 $\norm{f}_{H^{\infty}(\Omega,X)} \leq 1$。令 $\phi=\{\phi_{n}(r)\}_{n=0}^{\infty}$ 满足 $\phi_{0}(r)\leq 1$，且 $\sum_{n=0}^{\infty} \phi_{n}(r)$ 关于 $r \in [0,1)$ 局部一致收敛。对 $1\leq p,q<\infty$，我们记 \begin{equation*} R_{p,q,\phi}(f,\Omega,X)= \sup \left\{r \geq 0: \norm{x_{0}}^p \phi_{0}(r) + \left(\sum_{n=1}^{\infty} \norm{x_{n}}\phi_{n}(r)\right)^q \leq \phi_{0}(r)\right\} \end{equation*} 并由 $$R_{p,q,\phi}(\Omega,X)=\inf \left\{R_{p,q,\phi}(f,\Omega,X): \norm{f}_{H^{\infty}(\Omega,X)} \leq 1\right\}.$$ 定义与 $\phi$ 相关的 Bohr 半径。本文在 $X$ 为任意 Banach 空间及 $X$ 为某类 Hilbert 空间时广泛研究 Bohr 半径 $R_{p,q,\phi}(\Omega,X)$。此外，我们建立了算子值 Ces\'{a}ro 算子与 Bernardi 算子的 Bohr 不等式。