一维及高维广义Bohr半径的估计

复Banach空间X的广义Bohr半径$R_{p, q}(X), p, q\in[1, \infty)$由Blasco于2010年引入。本文中，我们确定了$R_{p, q}(\mathbb{C})$在以下情形下的精确值：(i) $p, q\in[1, 2]$，(ii) $p\in (2, \infty), q\in [1, 2]$，以及(iii) $p, q\in [2, \infty)$。此外，我们考虑了量$R_{p, q}(X)$的$n$变量版本$R_{p, q}^n(X)$，并确定了(i) 无穷维复Hilbert空间$\mathcal{H}$的$R_{p, q}^n(\mathcal{H})$，(ii) 有限维$X$的$R_{p, q}^n(X)$当$n\to\infty$时的精确渐近值。我们还研究了由Djakov和Ramanujan于2000年引入的相关概念——$p$-Bohr半径的多维类似物。特别地，我们得到了有界复值函数的$n$维$p$-Bohr半径的渐近值，并在向量值情形下给出了该半径的一个与$n$无关的下界估计。以类似的方式，我们详细研究了具有正实部的函数的多维$p$-Bohr半径问题。在本文末尾，我们提出了$R_{p, q}(X)$的又一推广$R_{p, q}(Y, X)$——考虑将另一复Banach空间$Y$的开单位球映入$X$的单位球内的函数，并证明非零$R_{p, q}(Y, X)$的存在性仅由$X$的几何性质决定。