三维Euler与Navier-Stokes拟精确一维模型的爆破分析

我们研究Hou-Li在\cite{hou2008dynamic}中提出的拟精确一维模型的奇性形成。该模型基于轴对称Navier-Stokes方程在$r$方向上的近似。若初始角速度、角涡量与角流函数关于$r$为线性，则一维模型的解可用于构造原始三维Euler与Navier-Stokes方程的精确解。该模型具有许多与三维Euler和Navier-Stokes方程相似的内在性质。它如同De Gregorio一维模型\cite{de1990one, de1996partial}那样捕捉了平流与涡管拉伸之间的竞争。我们证明，具有削弱平流与光滑初始数据的无粘模型，或具有Hölder连续数据的原始一维模型，会产生自相似爆破。我们还证明具有削弱平流与光滑初始数据的粘性模型会发生有限时间爆破。为获得非局部项的锐估计，我们对低频Fourier模式进行精确计算，并在能量估计中利用奇异加权范数对高频模式的主导阶估计提取阻尼。粘性情形的分析更为微妙，因为若仅使用奇异权，粘性项会产生某些不稳定性。我们通过精心设计的结合奇异加权能量范数与高阶Sobolev范数之和的能量范数，建立了粘性模型的爆破分析。