具有无界低阶项的演化方程的双线性控制. 在 Fokker-Planck 方程中的应用

我们研究演化方程 \begin{equation*} u'(t)+Au(t)+p(t)Bu(t)=0 \end{equation*} 的精确能控性，其中 $A$ 是希尔伯特空间 $X$ 上的非负自伴算子，$B$ 是 $X$ 上的无界线性算子，且受 $A$ 的平方根所控制。控制作用是双线性的且仅为标量输入形式，即控制为标量函数 $p$，并假设其仅依赖于时间。此外，我们只考虑平方可积控制。我们的主要结果是上述方程对基态解的局部精确能控性，即以 $A$ 的第一特征函数为初值随时间的演化。类似问题（以更一般的形式）已在我们的前期论文 [Exact controllablity to eigensolutions for evolution equations of parabolic type via bilinear control, Alabau-Boussouira F., Cannarsa P. and Urbani C., Nonlinear Diff. Eq. Appl. (2022)] 中针对有界算子 $B$ 进行了讨论。当前向无界算子的推广允许更多应用，包括一维空间中的 Fokker-Planck 方程，以及更大类的控制作用。