带非局域项的薛定谔方程的可控性

本文研究一维薛定谔方程的内部分布控制问题，该方程为 $i\,u_t(x,t)=-u_{xx}+\alpha(x)\,u+m(u)\,u$，出现在量子半导体模型中。这里 $m(u)$ 是一个非局域哈特里型非线性项，源于与一维泊松方程的耦合，$\alpha(x)$ 是一个具有无穷远处线性增长的正则函数，包括恒定电场。通过希尔伯特唯一性方法和Schauder不动点定理，证明了对于属于原点附近适当小邻域的初始和目标状态，以及支撑在固定紧区间外的分布控制，该模型方程是可控的。此外，还证明了对于具有紧支撑的分布控制，精确可控性问题是不可能的。