利用超积在等特征零下的大 Cohen-Macaulay 检验理想

利用超积，Schoutens 在本质上有限型于 $\mathbb{C}$ 的局部整环 $R$ 上构造了一个大 Cohen-Macaulay 代数 $\mathcal{B}(R)$。我们证明，若 $R$ 是正规的且 $\Delta$ 是 $\operatorname{Spec} R$ 上的一个有效 $\mathbb{Q}$-Weil 除子，使得 $K_R+\Delta$ 是 $\mathbb{Q}$-Cartier 的，则关于 $\hat{\mathcal{B}(R)}$ 的 $(\hat{R},\hat{\Delta})$ 的 BCM 检验理想 $\tau_{\hat{\mathcal{B}(R)}}(\hat{R},\hat{\Delta})$ 与 $(\hat{R},\hat{\Delta})$ 的乘子理想 $\mathcal{J}(\hat{R},\hat{\Delta})$ 一致，其中 $\hat{R}$ 和 $\hat{\mathcal{B}(R)}$ 分别是 $R$ 和 $\mathcal{B}(R)$ 的 $\mathfrak{m}$-进完备化，$\hat{\Delta}$ 是由典范态射 $\operatorname{Spec} \hat{R}\to \operatorname{Spec} R$ 给出的 $\Delta$ 的平坦拉回。作为一个应用，我们得到了关于乘子理想在纯环扩张下行为的一个结果。