非负曲率图的 Betti 数估计

本文对具有非负 Ollivier 曲率的图和具有非负 Bakry-Émery 曲率的图建立了 Betti 数估计，提供了流形上 Bochner 经典结果的离散类比。具体而言，我们证明了对于具有非负 Ollivier 曲率的图，其一阶 Betti 数的上界为最小组合顶点度数的一半。相比之下，对于具有非负 Bakry-Émery 曲率的图，我们证明了路径同调的一阶 Betti 数的上界为最小组合顶点度数减一。我们进一步给出了各种刚性结果，刻画了在非负 Ollivier 曲率下达到一阶 Betti 数上界的图。值得注意的是，这些图恰好是离散环面，类似于 Riemannian 几何的设定。此外，我们证明了使用 Ollivier 曲率获得的结果可推广至潜在非可逆 Markov 链的情形。另外，我们探讨了依赖于 Ollivier 曲率空闲参数的刚性情形，即刻画了达到上 Betti 数界且具有非负 Ollivier 曲率的完全空闲图的刚性。我们还在更一般的假设下建立了一阶 Betti 数的上界，该假设仅要求在有限子集外具有非负 Ollivier 曲率。最后，我们提供了若干示例，例如我们证明了对于长度至少为五的环上的潜在非可逆 Markov 链，总是存在具有常数 Ollivier 曲率的唯一路径度量。此外，该度量具有非负 Ollivier 曲率，且当且仅当曲率为零时达到上 Betti 数界。