随机有向图路径同调的第一Betti数

路径同调是有向图的拓扑不变量，对其不对称性敏感，并且能够区分对有向flag复形而言不可区分的有向图。在Erdős-Rényi有向随机图中，第一Betti数经历两次不同的相变，在低密度边界出现并在高密度边界再次消失。通过一个新颖的有向图组合条件，我们描述了稀疏和稠密两种情形，在这两种情形下路径同调的第一Betti数以高概率为零。我们将Grigor'yan等人关于链群生成子的结果与Kahle和Meckes的方法相结合，以确定路径同调的第一Betti数以高概率为正的情形。这些结果共同描述了下边界梯度的变化，并给出了上边界梯度的界限。着眼于假设检验，我们对在有限大小的高密度有向图中观测到正的第一Betti数的概率给出了更紧的界限。为了进行比较，我们将这些技术应用于有向flag复形，并推导出了类似的结果。