高斯随机场的拓扑与几何 I：关于贝蒂数、欧拉示性数与闵可夫斯基泛函

本研究通过贝蒂数 $\beta_0$、$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 对一组具有宇宙学意义的三维高斯随机场的拓扑进行了数值分析。我们表明，贝蒂数对原初密度场的拓扑提供了远为丰富的刻画。尤为有趣的是，贝蒂数指明了哪些拓扑特征——孤岛、空腔或隧道——定义了其空间结构。高斯场的一个主要特征是三个贝蒂数在不同密度区间主导拓扑。在极端密度水平上，拓扑由单一类别的特征主导。在低水平上，这是一种以孤立空腔为主导的\emph{瑞士奶酪状}拓扑；在高水平上，则是一种以孤立物体为主的\emph{肉丸状}拓扑。在中等密度水平上，两个贝蒂数定义了更为\emph{海绵状}的拓扑。在平均密度处，拓扑甚至需要三个贝蒂数，量化了一个由若干不相连复合体构成的场，而非一个连通且渗透的过密区。贝蒂数统计的\emph{第二}个重要方面是它们对功率谱敏感。它揭示了一种单调趋势：在中等密度范围内，较低的光谱指数对应于显著更高（相对）的空腔与孤岛数量。我们还评估了除闵可夫斯基泛函等传统度量之外，贝蒂数所代表的互补信息水平。为此，我们包含了对高斯运动公式（GKF）的广泛描述，它构成了该讨论的重要理论基石。