关于光滑随机场 Betti 数和欧几里得特征的统计性质

我们将光滑随机场的超出集表示为由基础拓扑构成的并集，该基础由简单连通紧子集和乘连通紧子集组成，这些子集构成底层流形的序列。与这些子集相关的系数是非负离散随机变量，反映了该随机场的随机性。超出集的 Betti 数可表示为系数之和，欧几里得特征和 Betti 数之和也可表示为这些系数的（交替）和。这使得我们能够将其统计性质理解为离散随机变量之和（或差）。我们检讨了当流形大小和分辨率增加时，每个拓扑统计量可渐近为高斯分布的条件。系数随后被建模为二项分布变量，Betti 数、欧几里得特征和 Betti 数之和的统计性质可从这一基本性质推导得出。我们通过数值计算测试了建模的有效性，并识别出拓扑统计量可被近似为高斯变量的阈值区间。这种新的超出集表示将拓扑统计量的性质映射到组合结构中，从而为物理推断（特别是宇宙学中的推断）提供了数学清晰度。