高斯随机场越界集与结点集的渐近拓扑

设 M 为带或不带边界的 n 维紧光滑流形，f : M $\rightarrow$ R 为光滑高斯随机场。很自然地可以假设，对于较大的正实数 u，随机越界集 {f $\ge$ u} 主要由互不相交的拓扑 n-球之并构成。利用（分层）Morse 理论的构造部分，我们证明了平均意义上该直觉成立，并对大 u 给出了此类球以及因而 {f $\ge$ u} 的连通分支的期望个数的渐近式，见定理 1.2。类似地，我们表明平均而言，高结点集 {f = u} 主要由球面构成，其渐近式与越界集相同。利用 [2] 给出的欧拉示性数平均的上述结果之细化，给出了 F. Nazarov 与 M. Sodin 所定义常数在大 u 下的显著渐近式，见定理 1.11。这一随机拓扑的崭新 Morse 理论方法亦适用于高维球面自旋玻璃，见定理 1.14。