具有平稳增量的 Gaussian 随机场的平均 Euler 示性数与游历概率

设 $X=\{X(t),t\in {\mathbb{R}}^N\}$ 为一个具有平稳增量且 $X(0)=0$ 的 centered Gaussian 随机场。对于任意紧矩形 $T\subset {\mathbb{R}}^N$ 和 $u\in {\mathbb{R}}$，记 $A_u=\{t\in T:X(t)\geq u\}$ 为游历集。在 $X(\cdot)\in C^2({\mathbb{R}}^N)$ 及某些正则性条件下，推导出了 $A_u$ 的平均 Euler 示性数，记为 ${\mathbb{E}}\{\varphi(A_u)\}$。通过应用 Rice 方法，证明了当 $u\to\infty$ 时，游历概率 ${\mathbb{P}}\{\sup_{t\in T}X(t)\geq u\}$ 可由 ${\mathbb{E}}\{\varphi(A_u)\}$ 近似，且其误差比 ${\mathbb{E}}\{\varphi(A_u)\}$ 指数级小。这验证了一大类具有平稳增量的 Gaussian 随机场的预期 Euler 示性数启发式方法。