球面上高斯随机场的越界概率

设 $X=\{X(x): x\in\mathbb{S}^N\}$ 为以 $N$ 维单位球面 $\mathbb{S}^N$ 为指标的实值中心高斯随机场。针对两种情况，我们获得了当 $u\to\infty$ 时越界概率 ${\mathbb{P}}\{\sup_{x\in\mathbb{S}^N}X(x)\ge u\}$ 的近似：（i）$X$ 是局部各向同性的且其样本函数非光滑；（ii）$X$ 是各向同性的且其样本函数二阶可微。对于情况，可以通过应用 Piterbarg (Asymptotic Methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields (1996) Amer. Math. Soc.)、Mikhaleva 和 Piterbarg (Theory Probab. Appl. 41 (1997) 367--379) 以及 Chan 和 Lai (Ann. Probab. 34 (2006) 80--121) 中的结果来研究越界概率。结果表明，${\mathbb{P}}\{\sup_{x\in\mathbb {S}^N}X(x)\ge u\}$ 的渐近性与欧几里得空间上涉及 Pickands 常数的 Pickands 近似相似。对于情况，我们应用期望欧拉示性数方法获得了更精确的近似，使得误差呈超指数级减小。