随机图中第1层子图的第1 Betti数的极限定理

我们开启了对随机图局部拓扑的研究。其高层目标是刻画图中的局部“模体”。在本文中，我们考虑对输入图 $G = (V,E)$ 所称的第-$r$ 层子图：具体而言，顶点 $u \in V$ 处的第-$r$ 层子图记为 $G_{u; r}$，它是 $G$ 在顶点集 $\Delta_{u}^{r}:= \left\{v \in V: d_G(u,v) = r \right\}$ 上的诱导子图，其中 $d_G$ 为 $G$ 中的最短路径距离。将图视为1维单纯复形，我们旨在研究此类子图的第1 Betti数。我们的主要结果是，Erd\H{o}s--R\'enyi 随机图 $G(n,p)$ 中第1层子图的第1 Betti数满足中心极限定理。