环路空间、增益图、图覆盖、基本群、路径同调与图曲率之间的关系
组合数学
2017-12-07 v2
摘要
我们证明了具有正 Bakry-\'Emery 曲率的图的同调消没定理，类似于流形上 Bochner 的经典结果 \cite{Bochner}。具体而言，我们证明如果一个图在每个顶点处都有正曲率，则其第一同调群是平凡的，其中我们用于图的同调概念是由 Grigor'yan、Lin、Muranov 和 Yau 发展的路径同调 \cite{Grigoryan2}。此外，我们证明了具有正 Bakry-\'Emery 曲率的图的基本群是有限的，类似于流形上 Myers 的经典结果 \cite{Myers1941}。这些证明借鉴了图论的几个不同领域。除了 Bakry-\'Emery 曲率和路径同调之外，我们还研究了图覆盖、增益图和图的环路空间。主要结果是作为在这些不同领域之间建立的几种不同关系的推论而得出的。具体而言，我们证明具有正曲率的图不能有保持 3-环路和 4-环路的非平凡无限覆盖，并根据图的环路空间给出第一路径同调的组合解释。我们将图的环路空间与具有阿贝尔增益群的增益图联系起来，并将它们与图的覆盖联系起来。在此过程中，我们证明了关于增益图、覆盖和环路空间的其他新事实，这些事实具有相关的研究意义。此外，我们将增益图与 Grigor'yan、Lin、Muranov 和 Yau \cite{Grigoryan_homotopy} 发展的图同伦和基本群联系起来，并获得了他们的结果——即基本群的阿贝尔化同构于整数上的第一路径同调——的另一种证明。
引用
@article{arxiv.1710.01264,
title = {Relationships between cycle spaces, gain graphs, graph coverings, fundamental groups, path homology, and graph curvature},
author = {Mark Kempton and Florentin Munch and Shing-Tung Yau},
journal= {arXiv preprint arXiv:1710.01264},
year = {2017}
}