基于 Schur 凸性的路与圈公共性的推广

若图 $H$ 在完全图 $K_n$ 的 2-边染色中单色副本的数量被随机染色渐近最小化，或等价地，对每个 graphon $W:[0,1]^2\rightarrow [0,1]$ 有 $t_H(W)+t_H(1-W)\geq 2^{1-e(H)}$ 成立（其中 $t_H(.)$ 表示图 $H$ 的同态密度），则称图 $H$ 是\emph{公共的}。路与圈的公共性是极值图论中最早的基石之一，归功于 Mulholland 与 Smith（1959）、Goodman（1959）和 Sidorenko（1989）。我们证明了一个图同态不等式，推广了路与圈的公共性。即，当 $H$ 是一条路或一个圈，且 $W:[0,1]^2\rightarrow\mathbb{R}$ 是有界对称可测函数时，有 $t_H(W)+t_H(1-W)\geq t_{K_2}(W)^{e(H)} +t_{K_2}(1-W)^{e(H)}$。这回答了 Sidorenko 于 1989 年提出的一个问题，他曾为证明奇圈的公共性而对偶长度路证明了稍弱的结果。此外，它还以强形式解决了 Behague、Morrison 和 Noel 近期的一个猜想，他们曾问该不等式是否对 graphon $W$ 和奇圈 $H$ 成立。我们的证明使用了完全齐次对称函数的 Schur 凸性，这本身可能具有独立意义。