对称锥上贝塞尔函数的 Beta 分布与 Sonine 积分

对于某些指标 $\mu+ \nu$ 的贝塞尔函数相对于低指标 $\mu$ 此类函数的经典 Sonine 积分表示，存在若干多元推广。对于矩阵锥上的贝塞尔函数，Sonine 公式涉及锥上的 beta 密度 $\beta_{\mu,\nu}$，并可追溯至 Herz。目前已知的对称锥上的 Sonine 表示局限于连续范围 $\Re\mu, \Re \nu > \mu_0$，其中所涉及的 Beta 密度为概率测度，且极限指标 $\mu_0\geq 0$ 依赖于锥的秩。仅在一维情形为零，而在所有多元情形均大于零。本文中，我们研究对称锥上贝塞尔函数的 Sonine 公式向 $\nu$ 低于临界极限 $\mu_0$ 的值的推广。这是通过将所涉及的 Beta 测度作为缓增分布进行解析延拓实现的。遵循 A. Sokal 近期关于对称锥上 Riesz 分布的思想，我们分析在哪些指标下所得 Beta 分布仍为测度。同时，我们刻画了相关贝塞尔函数间存在 Sonine 公式的指标。如同 Riesz 分布，在指标的可容许范围内会出现由所谓 Wallach 集决定的空隙。