Bergman 迭代与趋向 K"ahler-Ricci 流的 $C^{\infty}$ 收敛性

在极化流形 $(X,L)$ 上，Bergman 迭代 $\phi_k^{(m)}$ 被定义为 $L$ 上带有两个整数参数 $k, m$ 的 Bergman 度量序列。我们研究了任意时刻 $t \geq 0$ 的 K"ahler-Ricci 流 $\phi_t$ 与当 $m=m(k)$ 且比值 $m/k$ 在 $k \to \infty$ 时趋于 $t$ 的情形下度量 $\phi_k^{(m)}$ 的极限行为之间的关系。我们主要考察了三种情形：$L$ 为 Calabi-Yau 流形 $X$ 上一般极化的情形，以及 $L=\pm K_X$ 为（反）典范丛的情形。近期，Berman 证明了收敛性 $\phi_k^{(m)} \to \phi_t$ 在 $C^0$ 拓扑下成立，特别是曲率的收敛性在 current 的意义下成立。在本文中，我们推广了 Berman 的结果，并证明该收敛性实际上在光滑拓扑下成立。