凸积分在其 Wulff 形顶点处的行为

设 $\gamma: S^n\to \mathbb{R}_+$ 为一个凸积分，$\mathcal{W}_\gamma$ 为 $\gamma$ 的 Wulff 形。顶点在非光滑 Wulff 形中自然出现，特别地，凸多面体的顶点即是如此。本文研究凸积分在其 Wulff 形顶点附近的行为。我们证明 $\gamma(P)$ 为局部极大值，且 $\mathbb{R}_+ P\cap \partial \mathcal{W}_\gamma$ 是 $\mathcal{W}_\gamma$ 的一个顶点当且仅当 $\gamma$ 在该顶点附近的图形为球面的一部分。作为该结果证明的一个应用，我们证明对任意宽度为 $\tau>\pi/2$ 的球凸体 $C$，存在一列宽度为 $\tau$ 的凸双体 $\{C_i\}_{i=1}^\infty$，其边界仅由半径为 $\tau-\frac{\pi}{2}$ 的圆弧与大圆线段组成，使得关于 Hausdorff 距离有 $\lim_{I\to \infty}C_i=C$。