$C^\infty$ 严格凸被积函数及其对偶的同时光滑性与同时稳定性

在本文中，我们研究了凸被积函数 $\gamma$ 及其对偶 $\delta$ 的同时性质。主要结果如下三点。(1) 对于 $C^\infty$ 凸被积函数 $\gamma: S^n\to \mathbb{R}_+$，其对偶凸被积函数 $\delta: S^n\to \mathbb{R}_+$ 属于 $C^\infty$ 类当且仅当 $\gamma$ 是严格凸被积函数。(2) 设 $\gamma: S^n\to \mathbb{R}_+$ 为 $C^\infty$ 严格凸被积函数。那么，$\gamma$ 是稳定的当且仅当其对偶凸被积函数 $\delta: S^n\to \mathbb{R}_+$ 是稳定的。(3) 设 $\gamma: S^n\to \mathbb{R}_+$ 为 $C^\infty$ 严格凸被积函数。假设 $\gamma$ 是稳定的。那么，对于任意 $i$ $(0\le i\le n)$，点 $\theta_0\in S^n$ 是 $\gamma$ 的具有 Morse 指数 $i$ 的非退化临界点，当且仅当其对跖点 $-\theta_0\in S^n$ 是对偶凸被积函数 $\delta$ 的具有 Morse 指数 $(n-i)$ 的非退化临界点。