不含赋范 Markushevich 基的连续函数 Banach 空间

我们研究如下的问题：是否一个散紧拓扑空间 $K$ 只要满足 $C(K)$ 具有赋范 Markushevich 基（简称 M-基）就必然是 Eberlein 的。该问题源于 Hájek、Todorčević 及本文作者近期对 Godefroy 于九十年代提出的一个公开问题的解答。我们的主要工具是证明 $C([0,\omega_1])$ 不嵌入到具有赋范 M-基的 Banach 空间中，从而推广了 Alexandrov 与 Plichko 的一个结果。随后，我们给出紧空间 $K$ 使得 $C(K)$ 不嵌入到具有赋范 M-基的 Banach 空间中的充分条件。此类条件的例子包括：$K$ 是带有 P-点的 $0$ 维紧空间，或高度至少为 $\omega_1 +1$ 的紧树。特别地，这使我们能在 $K$ 为树时回答上述问题，并对 Valdivia 紧空间得到相当一般的结果。最后，我们给出散紧树的一些结构结果；特别地，我们证明高度小于 $\omega_2$ 的散树是 Valdivia 的。