次黎曼控制系统中的Aubry集
最优化与控制
2022-04-28 v1 偏微分方程分析
摘要
在论文[P. Cannarsa, C. Mendico, Asymptotic analysis for Hamilton-Jacobi-Bellman equations on Euclidean space, (2021) Arxiv]中，我们证明了当时间范围趋于无穷时，最优控制问题的平均值函数极限的存在性。对于经典的Tonelli情形，这样的极限被称为问题的临界常数。在次黎曼控制系统的特殊情形下，我们还证明了临界解的存在性，即与该常数相关联的Hamilton-Jacobi方程的连续解，该解也与其Lax-Oleinik演化一致。在此，我们将注意力集中于次黎曼情形，利用一种适应的闭测度概念，为临界常数提供了一个变分表示公式。有了这个公式，我们定义并研究了Aubry集。首先，我们研究了该集合关于一类合适的Lagrange作用量极小化轨迹的动力学和拓扑性质。然后，我们证明Hamilton-Jacobi方程的临界解在Aubry集上是水平可微的，并在经典意义下满足该方程。
引用
@article{arxiv.2204.12544,
title = {Aubry set for sub-Riemannian control systems},
author = {Piermarco Cannarsa and Cristian Mendico},
journal= {arXiv preprint arXiv:2204.12544},
year = {2022}
}