晶格多面体量化质心的渐近行为及其代数几何应用

本文解决一个具有代数几何应用的组合问题。给定凸晶格多面体 P 及其整数扩张 kP，可关联其格点的质心。这一序列的 k 量化质心收敛于作为凸体的多面体的（经典）质心。一个基本问题随之出现：是否存在该序列的完整渐近展开？若存在，其形式为何？本文启动了此问题的研究。首先，我们建立了此类展开的存在性，并确定前两项。其次，对于 Delzant 晶格多面体，我们利用toric代数确定所有项，方法是通过虚拟屋顶多面体的混合体积，或 alternatively 以更高次Donaldson--Futaki不变量表示。第三，对于反射多面体，我们证明量化质心在一阶上共线，实际上对于多边形情况完全共线。证明使用Ehrhart理论、凸性论证及toric代数。作为应用，我们推导了Fujita--Odaka稳定阈值 \delta_k 在任意极化上（可能具有奇异性）的toric variety 上的完全渐近展开。事实上，我们证明它们对 k 的足够大的函数是有理函数。这给出了Tian稳定问题在（可能奇异）toric Fano 多簇上的第一个普遍结果：\delta_k 在 k 中稳定当且仅当它们全部等于 1，当且仅当光滑时渐近 Chow 半稳定。我们也将渐近展开关联到受Ehrhart理论激发的更高次Donaldson--Futaki不变量，并在此过程中统一了Donaldson、Ono、Futaki 以及Rubinstein--Tian--Zhang 以前的结果。