二维散焦非线性 Schrödinger 方程和 Hartree 方程在 H^1 中的渐近线性解

在二维情形下，给定线性 Schrödinger 方程 $i\partial_t v +\Delta v =0$ 的一个 $H^1$ 解 $v(t)$，我们证明了对于非线性幂次 $2<p<3$，存在（但不唯一）散焦非线性 Schrödinger (NLS) 方程 $i\partial_t u + \Delta u -|u|^{p-1}u=0$ 的一个 $H^1$ 解 $u(t)$；以及对于相互作用幂次 $1<\gamma<2$，存在散焦 Hartree 方程 $i\partial_t u + \Delta u -(|x|^{-\gamma}\star|u|^{2})u=0$ 的一个 $H^1$ 解 $u(t)$，使得当 $t\to +\infty$ 时 $\|u(t)-v(t)\|_{H^1} \to 0$。这是朝着这些方程存在定义良好的连续波算子 $H^1 \to H^1$ 迈出的部分结果。对于二维 NLS，已知此类波算子在 $p\geq 3$ 时存在，而在 $p\leq 2$ 时已知其不存在。二维 Hartree 方程仅在 $0<\gamma<2$ 时有意义，此前已知波算子在 $0<\gamma\leq 1$ 时不存在，而在 $1<\gamma<2$ 范围内此前尚无结果。我们在 NLS 情形下的证明将 Colliander-Grillakis-Tzirakis (2008) 的新估计应用于 Nakanishi (2001) 设计的策略。对于 Hartree 方程，我们遵循 Colliander-Grillakis-Tzirakis (2008) 的方法证明了一个新的关联估计。