$(1+\alpha)$阶分数阶微分方程的渐近积分

我们建立了$(1+\alpha)$阶分数阶微分方程${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}x+a(t)x=0$，$t>0$，在函数系数$a(t)$的一些简单限制下解的长时间渐近公式，其中${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}$是分数阶微分算子${}_{0}D_{t}^{\alpha}(x^{\prime})$，$({}_{0}D_{t}^{\alpha}x)^{\prime}={}_{0}D_{t}^{1+\alpha}x$和${}_{0}D_{t}^{\alpha}(tx^{\prime}-x)$之一。这里，${}_{0}D_{t}^{\alpha}$表示阶数为$\alpha\in(0,1)$的Riemann-Liouville导数。渐近公式为当$t\rightarrow+\infty$时，对于给定的$a$，$b\in\mathbb{R}$，有$[a+O(1)]\cdot x_{{\scriptstyle small}}+b\cdot x_{{\scriptstyle large}}$，其中$x_{{\scriptstyle small}}$和$x_{{\scriptstyle large}}$分别表示生成分数阶微分方程${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}x=0$，$t>0$解空间的最终小解和最终大解。