阿斯亚 Gamma 因子与家族中的显著性

设 $F$ 为 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张，$E$ 为 $F$ 的二次扩张。若表示 $(\pi,V)$ 为 ${\rm GL}_n(E)$ 的表示，且存在非零线性函数 $\phi$ 于 $V$ 上，满足 $\phi(\pi(h)v) = \phi(v)$ 对所有 $h \in {\rm GL}_n(F)$ 和 $v \in V$ 成立，则称其为 ${\rm GL}_n(F)$-显著表示。在本文中，我们研究 ${\rm GL}_n(F)$-显著表示于 $R[{\rm GL}_n(E)]$ 类型 Whittaker 模块的情形，其中 $R$ 为环的威尔特向量 $\overline{\mathbb{F}}_\ell$ 的 Noetherian 环，且 $\ell \ne p$。我们首先推导函数方程，给出与 $R[{\rm GL}_n(E)]$ 类型 Whittaker 模块关联的阿斯亚 $\gamma$-因子的存在性。随后，我们以 $R[{\rm GL}_n(E)]$ 类型 Whittaker 模块的阿斯亚 $\gamma$-因子为条件，给出 cuspidal 表示为 Whittaker ${\rm GL}_n(F)$-显著的必要条件。