关于 ${GL}_n(\mathbb{C})$ 表示的 Kirillov 模型的注记

设 $G=GL_{n}(\mathbb{C})$，$\psi:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^{\times}$ 为一个非平凡加法特征标。设 $U$ 为 $G$ 中上三角幺幂矩阵组成的子群。记 $\theta$ 为由 $$\theta(u):=\psi(u_{1,2}+u_{2,3}+...+u_{n-1,n})$$ 给出的特征标 $\theta:U\to\mathbb{C}$。设 $P$ 为 $G$ 的 Mirabolic 子群，由 $G$ 中最后一行等于 $(0,0,...,0,1)$ 的所有矩阵组成。我们证明，如果 $\pi$ 是 $GL_{n}(\mathbb{C})$ 的不可约泛型表示，且 $\mathcal{W}(\pi,\psi)$ 是其 Whittaker 模型，则空间 $\{f|_{P}:P\to \mathbb{C}:\, f\in \mathcal{W}(\pi,\psi)\}$ 包含所有满足 $f(up)=\psi(u)f(p)$（对所有 $u\in U$ 和 $p\in P$）且在模 $U$ 下具有紧支集的无穷次可微函数 $f:P\to \mathbb{C}$ 的空间。Gelfand 和 Kazhdan 曾在"Representations of the group $GL(n,K)$ where K is a local field", Lie groups and their representations, Proc. Summer School, Bolyai J\'anos Math. Soc., Budapest:95-118, 1975 中对 $GL_{n}(F)$（其中 $F$ 为 $p$-adic 域）证明了类似结果，Jacquet 曾在"Distinction by the quasi-split unitary group", Israel Journal of Mathematics, 178(1):269-324, 2010 中对 $GL_{n}(\mathbb{R})$ 证明了类似结果。