有限周期与基变换的检验向量

设 $E/F$ 为有限域的二次扩张。由 Gow 的一个结果，当 $H$ 为 ${\rm GL}_n(F)$ 或 ${\rm U}(n,E/F)$ 时，$G = {\rm GL}_n(E)$ 的不可约表示 $\pi$ 至多有一个非零的 $H$-不变向量（相差标量倍）。若 $\pi$ 确有 $H$-不变向量，则称其为 $H$-可区分的。由 Gow 的工作可知，$H$-可区分性由基变换刻画：当 $H$ 为 ${\rm GL}_n(F)$ 时（分别地，当 $H$ 为 ${\rm U}(n,E/F)$ 时由 Shintani 给出的从 ${\rm GL}_n(F)$ 的基变换），由 Kawanaka 给出的从 ${\rm U}(n,E/F)$ 的基变换刻画。假设 $\pi$ 为泛型且 $H$-可区分的，我们借助 $\pi$ 的 Bessel 函数给出 $H$-不变向量的显式描述。设 $\psi$ 为 $N_G/N_H$ 的非退化特征标，令 $B_{\pi,\psi}$ 为 $\psi$-Whittaker 模型上 $\pi$ 的（归一化）Bessel 函数。对于 Bessel 函数的 $H$-平均 $$W_{\pi,\psi} = \frac{1}{|H|} \sum_{h\in H} \pi(h) B_{\pi,\psi}$$ 我们证明 $$W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{{\rm dim}\rho}{{\rm dim} \pi} \cdot \frac{|{\rm GL}_n(E)|}{|{\rm GL}_n(F)| |{\rm U}(n,E/F)|},$$ 其中当 $H$ 为 ${\rm GL}_n(F)$（分别地，${\rm U}(n,E/F)$）时，$\rho$ 为基变换到 $\pi$ 的 ${\rm U}(n,E/F)$（分别地，${\rm GL}_n(F)$）的表示。作为一个应用，我们对 ${\rm SL}_n(E)$ 的泛型 $L$-包中容许 ${\rm SL}_n(F)$ 不变向量的成员进行了分类。最后，我们利用 Hiraga-Ichino-Ikeda 的形式次数猜想 \cite{hii08}，证明了关于平方可积表示的我们结果的 $p$-进类比（以形式次数表述）。