线性周期的符号

设 $G$ 为一个群，$H$ 为其子群，$(\pi,V)$ 为 $G$ 的复表示。$H$ 在 $G$ 中的正规化子 $N$ 在 $V$ 上的 $H$-不变线性形式空间 $\mathrm{Hom}_H(\pi,\mathbb{C})$ 上的自然作用，提供了一个在 $H$ 上平凡的 $N$ 的表示 $\chi_{\pi}$；当 $\mathrm{Hom}_H(\pi,\mathbb{C})$ 为一维时，它是一个特征标。此外，若 $G$ 是局部域上的重约化群，且 $\pi$ 是光滑不可约的，则用 $\pi$ 的可能猜想性的 Langlands 参数 $\phi_\pi$ 来表达 $\chi_{\pi}$ 是一个有趣的问题。在本文中，我们考虑以下情形：$G=\mathrm{GL}_m(D)$，其中 $D$ 是特征为零的局部域 $F$ 上的维数为 $d^2$ 的中心可除代数，$H$ 是 $G$ 中非中心元素 $\delta\in G$ 的中心化子，且满足 $\delta^2$ 位于 $G$ 的中心，同时 $\pi$ 具有到 $\mathrm{GL}_{md}(F)$ 的泛型 Jacquet-Langlands 转移。在此设定下，空间 $\mathrm{Hom}_H(\pi,\mathbb{C})$ 至多为一维。当 $\mathrm{Hom}_H(\pi,\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}$ 且 $H\neq N$ 时，我们证明 $\chi_{\pi}$ 在 $\frac{N}{H}$ 的非平凡类上的值为 $(-1)^m\epsilon(\phi_\pi)$，其中 $\epsilon(\phi_\pi)$ 是 $\phi_{\pi}$ 的根数。在此过程中，我们将许多关于线性和 Shalika 模型的有用重数一结果推广到了非分裂 $G$ 的情形。当 $F$ 为 $p$-进域时，我们还分类了具有线性周期和 Shalika 模型的标准模，即使当 $D=F$ 时，这些也是新结果。