与局部 Gross-Prasad 猜想相关的一个积分公式

设 $F$ 为特征为 $0$ 的非阿基米德局部域。设 $V$ 为 $F$ 上的有限维向量空间，$q$ 为 $V$ 上的非退化二次型。记 $d=\dim V$，$G=\operatorname{SO}(d)$ 为 $(V,q)$ 的特殊正交群。取 $v_0\in V$ 满足 $q(v_0)\neq 0$，记 $W$ 为 $V$ 中与 $v_0$ 正交的子空间，$H=\operatorname{SO}(d-1)$ 为 $W$ 的特殊正交群。设 $\pi$ 和 $\sigma$ 分别为 $G(F)$ 和 $H(F)$ 的容许不可约表示。记 $m(\sigma,\pi)$ 为复空间 $\operatorname{Hom}_{H(F)}(\pi|_{H(F)},\sigma)$ 的维数。由 Aizenbud、Gourevitch、Rallis 和 Schiffmann 的一个定理，我们知道 $m(\sigma,\pi)=0$ 或 $1$。我们定义另一个量 $m_{\text{geom}}(\sigma,\pi)$，它是可由 $\sigma$ 和 $\pi$ 的特征标推导出的函数积分的显式求和。假设 $\pi$ 是超尖的，则我们证明等式 $m(\sigma,\pi)=m_{\text{geom}}(\sigma,\pi)$ 成立。现在，设 $\Pi$ 和 $\Sigma$ 分别为 $G(F)$ 和 $H(F)$ 的缓增表示的 $L$-包。我们采用 Vogan 提出的 $L$-包的精细概念：包中的表示可以是 $G(F)$ 或 $H(F)$ 的内形式的表示。我们假设缓增 $L$-包的某些猜想性质成立。再假设 $\Pi$ 的所有元素都是超尖的，则我们的积分公式蕴含 Gross-Prasad 猜想的弱形式：存在唯一的对 $\sigma\times\pi\in\Sigma\times\Pi$，使得 $m(\sigma,\pi)=1$。