关于特殊贝塞尔周期的精细全局 Gross-Prasad 猜想与 Boecherer 猜想

在本文中，我们针对 $\mathrm{SO}\left(2n+1\right)\times\mathrm{SO}\left(2\right)$ 的特殊贝塞尔周期情形，探讨由刘一峰提出的关于贝塞尔周期的精细全局 Gross-Prasad 猜想。回顾一下，当 $\mathrm{SO}\left(2\right)$ 的表示是平凡表示时，$\mathrm{SO}\left(2n+1\right)\times\mathrm{SO}\left(2\right)$ 的贝塞尔周期被称为特殊的。设 $\pi$ 是定义在全实域 $F$ 上奇维二次空间的一个特殊正交群的不可约尖点温和自守表示，其在 $F$ 的任意阿基米德位 $v$ 处的局部分量 $\pi_v$ 为离散序列表示。设 $E$ 是 $F$ 的一个二次扩张，并假设对应于 $E$ 的特殊贝塞尔周期在 $\pi$ 上不恒为零。那么，我们证明了刘一峰所猜想的关于中心值 $L\left(1/2,\pi\right)L\left(1/2,\pi\times\chi_E\right)$ 的 Ichino-Ikeda 型显式公式，其中 $\chi_E$ 表示对应于 $E$ 的二次特征。我们的结果给出了关于度为 2 且为 Hecke 本征形式的全纯 Siegel 尖点形式的 Boecherer 猜想的一个证明。