关于完备 Kac-Moody 群的 Lie 对应与 Gabber-Kac 单纯性

设 $k$ 为一个域，$A$ 为一个广义 Cartan 矩阵，并令 ${\mathfrak G}_A(k)$ 为相应的定义在 $k$ 上的单连通型极小 Kac-Moody 群。考虑由 O. Mathieu 和 G. Rousseau 引入的 ${\mathfrak G}_A(k)$ 的完备化 ${\mathfrak G}_A^{pma}(k)$，并令 ${\mathfrak U}_A^{ma+}(k)$ 表示 ${\mathfrak G}_A^{pma}(k)$ 的正 Borel 子群的幂单根。在本文中，我们展示了群 ${\mathfrak U}_A^{ma+}(k)$ 和 ${\mathfrak G}_A^{pma}(k)$ 对其李代数的某些函子性依赖。我们还产生了一大类的极小 Kac-Moody 群 ${\mathfrak G}_A(k)$ 的例子，这些群在它们的 Mathieu-Rousseau 完备化 ${\mathfrak G}_A^{pma}(k)$ 中不是稠密的。最后，我们解释了提供完备 Kac-Moody 群统一理论的问题如何与 ${\mathfrak G}_A^{pma}(k)$ 的 Gabber-Kac 单纯性猜想相关，该猜想陈述：包含在 ${\mathfrak U}_A^{ma+}(k)$ 中的 ${\mathfrak G}_A^{pma}(k)$ 的每个正规子群必须是平凡的。我们给出了研究该猜想的若干动机，以及我们的函子性定理的若干应用，对 ${\mathfrak U}_A^{ma+}(k)$ 的（非）线性性问题以及有限域上完备 Kac-Moody 群的同构问题有所贡献。对于有限域 $k$，我们还根据 pro-$p$ 群理论中的一些重要概念对 ${\mathfrak U}_A^{ma+}(k)$ 的结构作了一些观察。