用Tannaka重构积分无限维Lie代数(第二部分)

设$\mathfrak g$为特征零域$F$上的Lie代数,$C$为$\mathfrak g$的某表示张量范畴,$C^{\mathrm du}$为某对偶范畴。在arXiv:math.AG/0409053中,我们通过Tannaka重构于$C$与$C^{\mathrm du}$联系了一个具有矩阵系数坐标环$F[M]$的monoid $M$,以及Lie代数$\mathrm{Lie}(M)$。我们从代数几何角度解释了此情形。特别地,我们证明:若Lie代数$\mathfrak g$由单参数元生成,则其以自然方式等同于$\mathrm{Lie}(M)$的子代数,且存在$M$的单位群的一个在$M$中稠密的子群。现我们引入此稠密子群上正则函数的坐标环,以及$\mathfrak g$的泛包络代数上线性正则函数的代数,并考察其关系。我们研究并描述了与$\mathfrak g$的可积表示范畴相关的各种矩阵系数坐标环。我们专于Kac-Moody代数与自由Lie代数的可积表示。V. G. Kac与D. Peterson获得的关于Kac-Moody群坐标环的一些结果、V. G. Kac定义的线性代数可积Lie代数的相伴群的某些坐标环,以及Y. Billig与A. Pianzola获得的自由Kac-Moody群坐标环的一些结果,均纳入此语境。我们确定了与Kac-Moody代数的O范畴中可积表示全子范畴及其全对偶范畴相关的Tannaka monoid。其Zariski开稠密单位群为形式Kac-Moody群。我们给出其矩阵系数坐标环的多种描述。我们证明其Lie代数为形式Kac-Moody代数。