阿姆斯特朗 zeta 函数、奇点与 Hodge 理论

我们利用 Hodge 理论将复数调和模 $Z_f$ 的极点与奇点的若干不变式联系起来。首先，我们证明了 $Z_f$ 的最大非平凡极点是负的最小指数，其阶数由对应 Bernstein--Sato 多项式 $b_f(s)$ 的根的重数决定，从而从根本上解决了 Mustaăşă--Popa 的问题。这同时概括了 Loeser 对孤立奇点的结果以及 Kollár--Litchin 对对数规范阈值的结果，并通过考虑重数进行了改进。另一方面，我们给出一个 $f$ 的例子，其中 $b_f(s)$ 的根不是 $Z_f$ 的极点，从而以否定方式回答了 Loeser 1985 年提出的问题。作为副产品，我们在最小指数的案例中给出了 Budur--Walther 的积极答案。在一般情况下，我们从消失循环的 Hodge 滤化中确定 $Z_f$ 的极点，磨练了 Barlet 的结果。最终，我们获得了 Kashiwara 和 Malgrange 的 $V$-滤化、Hodge 滤化以及更高阶乘子理想的解析描述，回答了另一个 Mustaăşă--Popa 的问题。证明主要依赖于 Sabbah--Schnell 所述复数 Hodge 模块最低部分极化性质。