Hochster Theta的正性

M. Hochster定义了一个不变量，即$\Theta(M,N)$，它与超曲面环$R=P/f$上的两个有限生成模相关，其中$P=k\{x_0,...,x_n\}$或$k[X_0,...,x_n]$，$k$是一个域，$f$是在0处具有孤立奇点的全纯函数芽或多项式。根据W. Moore、G. Piepmeyer、S. Spiroff、M. Walker的工作，这个不变量可以提升到Grothendieck群$G_0(R)_{\mathbb{Q}}$，并且与Chern特征和环类映射相容。他们证明当$f$是齐次多项式时，它是半定的，使用了射影簇上的Hodge理论。一个猜想是对于一般的孤立奇点$f$，同样的结论成立。我们利用孤立超曲面奇点的Hodge理论在$k=\mathbb{C}$时给出了这个猜想的证明。我们将这个结果应用于给出$f$的簇中真交的相交重数的正性判据。