曲面奇点光滑化的Milnor数与Tjurina数

对于孤立超曲面奇点$f=0$，Milnor数$\mu$大于或等于Tjurina数$\tau$（半万有形变的基的维数），当$f$是拟齐次时取等号。K. Saito证明了逆命题。对于完全交，相同结论成立但证明困难得多。对于Gorenstein曲面奇点$(V,0)$，无论$V$是否可光滑化，都可以定义差$\mu - \tau$；文献[23]证明了它是非负的，且等于0当且仅当$(V,0)$是拟齐次的。我们猜想对于非Gorenstein曲面奇点有类似结果。这里，$\mu - \tau$必须修改以使其独立于任何光滑化。这个表达式涉及最小好解消上对数导子丛的外幂的上同调，猜想它是非负的，且等于0当且仅当具有拟齐次性。我们证明了“若”部分；指出了猜想特别有趣的特殊情形；在一些非平凡情形中验证了它；并证明了当指数一覆盖是超曲面时，对于$\Q$Gorenstein光滑化该猜想成立。该猜想对于具有有理同调盘光滑化的曲面奇点的分类具有重要意义，如文献[1]、[18]、[24]所述。