简单极点逼近——第一部分：Hardy 空间中的密度与几何收敛速率

最优线性反馈控制设计是一个有价值但具挑战性的问题，因为底层优化的非凸性以及稳定控制器 Hardy 空间的无限维性。一类解决最优控制问题的强有力技术是利用重参数化将控制设计转化为凸但无限维的优化。为使问题可处理，历史工作聚焦于 Hardy 空间的 Galerkin 型有限维逼近，尤其是涉及 Lorentz 级数逼近的方法，如有限冲激响应逼近。然而，Lorentz 级数逼近可能导致不可行、难以融入先验知识、有限冲激响应情形下的死拍控制，以及增加的次优性，尤其对于具有大时间尺度分离的系统。这篇两部分文章的目标是引入一种基于带选定简单极点的传递函数逼近的新 Galerkin 型方法，并将此简单极点逼近应用于最优控制设计。在第一部分，基于极点选择的几何提供了 Hardy 空间中任意传递函数逼近的误差界。表明具有这些简单极点的传递函数空间收敛到完整 Hardy 空间，并仅基于极点选择的几何给出了均匀收敛速率。随后专门推导了基于阿基米德螺线的一种特别有趣的极点选择的收敛速率。在第二部分，简单极点逼近与系统级综合（一种近期的重参数化方法）结合，以开发一种新的控制设计方法。该技术是凸且可处理的、始终可行、可包含先验知识、不会导致死拍控制，并且对具有大时间尺度分离的系统表现良好。