反对称Hamilton量(II):Navier-Stokes与其他非线性演化的变分求解

在前一篇论文[8]中建立的非线性自对偶变分原理——尽管已足以直接应用于许多定常非线性偏微分方程——然而并未涵盖诸如Navier-Stokes方程之类的非线性演化情形。原因之一是其相关路径空间上相应自对偶泛函所不满足的强制性条件过于苛刻。我们在此证明,对于形如 I(u)= \int_0^T \Big [ L (t, u(t),\dot {u}(t)+\Lambda u(t)) +< \Lambda u(t), u(t) > \Big ] dt +\ell (u(0)- u(T), \frac {u(T)+ u(0)}{2}) 的泛函,此类原理仍然成立,其中 $L$(相应地,$\ell$)是状态空间(相应地,边界空间)上的反自对偶Lagrangian,而 $\Lambda$ 是路径空间上的适当非线性算子。作为推论,我们给出涉及非线性算子(如具有各种边界条件的Navier-Stokes方程(二维和三维))的演化方程的变分表述与求解。在二维情形,我们重新得到相应初值问题以及周期与反周期解的已知解;而在三维情形,我们得到初值问题的Leray解,也得到了满足 $u(0)=\alpha u(T)$(对任意给定 $\alpha$ 属于 $(-1,1)$)的解。我们的方法相当一般,确实适用于许多其他情形。