反自对偶拉格朗日量：非自伴方程与耗散演化的变分解

我们发展了反自对偶（ASD）拉格朗日量的概念与演算，它似乎内蕴于数学物理、几何与微分方程的许多问题之中。它们是凸函数梯度——从而也是自伴正算子——的自然推广，后者通常驱动耗散系统，但同时也足够丰富，可为这类梯度与通常生成酉流的反对称算子的叠加提供表示。它们为大类非势边值问题与初值抛物型方程给出了变分公式与解。解是具有形式 $I(u)=L(u, \Lambda u)$（相应地 $I(u)=\int_{0}^{T}L(t, u(t), \dot u (t)+\Lambda_{t}u(t))dt$）的泛函的极小值，其中 $L$ 是一个反自对偶拉格朗日量，且 $\Lambda_{t}$ 为本质反自伴算子。然而，正如量子场论中自（反自）对偶方程（例如 Yang-Mills）那样，与这些极小值相关联的方程并非由它们是泛函 $I$ 的临界点导出，而是因为它们也是拉格朗日量 $L$ 本身的零点。