4 维 Weyl 费米子的离散对称性奇点

我们推导了四维 Weyl 费米子在有限对称性 $\mathrm{Spin}\times\mathbb Z_n$ 和 $\mathrm{Spin}\times_{\mathbb Z_2^{\mathrm F}}\mathbb Z_{2m}^{\mathrm F}$ 下的显式奇点指数公式。策略是从标准的扰动奇点指数 $\mathrm{Spin}\times\mathrm U(1)$ 和 $\mathrm{Spin}\times_{\mathbb Z_2^{\mathrm F}}\mathrm U(1)=\mathrm{Spin}^c$ 开始，然后将连续 $\mathrm U(1)$ 对称限制为有限循环子群。在可逆场论层面，这给出自然的同态映射 $$\mathrm{TP}_5(\mathrm{Spin}\times\mathrm U(1)) \longrightarrow \mathrm{TP}_5(\mathrm{Spin}\times\mathbb Z_n),\quad \mathrm{TP}_5(\mathrm{Spin}^c) \longrightarrow \mathrm{TP}_5(\mathrm{Spin}\times_{\mathbb Z_2^{\mathrm F}}\mathbb Z_{2m}^{\mathrm F}).$$ 我们通过在有限奇点群的几何代表上计算简化的 $\eta$-不变式来显式计算这些映射。对于 $\mathrm{Spin}\times\mathbb Z_n$，相关背景是五维镜面空间束 $X(n;1,1)$ 和乘积 $L(n;1)\times\mathrm{K3}$。对于 $\mathrm{Spin}\times_{\mathbb Z_2^{\mathrm F}}\mathbb Z_{2m}^{\mathrm F}$，相关背景是 $L(m;1,1,1)$ 和根据 $m$ 的奇偶性是 $L(m;1)\times\mathrm{Enriques}$ 或 $L(m;1)\times\mathrm{K3}$。输出是每个有限对称性的一对整数值奇点指数。这些指数在有限奇点群的循环因子中标准化，因此可直接用于具有离散规范或全局对称性的费米子的奇点取消检查。