滤子的解析扩张与符号代数

本文定义并探究局部环中滤子的解析扩张$\ell(\mathcal I)$。我们表明，尤其对于除子滤子与符号滤子，理想解析扩张的一些基本性质可推广至滤子，即便该滤子非诺特。我们也以例子说明滤子的解析扩张与理想的解析扩张之间的某些显著差异。对理想$I$，我们有经典界$\mbox{ht}(I)\le\ell(I)\le \dim R$。上界$\ell(\mathcal I)\le \dim R$对滤子$\mathcal I$成立，但下界并非对所有滤子成立。我们表明，对于三维正则局部环（空间曲线奇点）中高2素理想$\mathfrak p$的符号幂滤子$\mathcal I$，使得$\mbox{ht}(\mathcal I) =2$且$\dim R=3$，我们有$0\le \ell(\mathcal I)\le 2$且0、1、2所有值均可出现。在解析扩张为0与1的情形下，符号代数必为非诺特。符号代数非诺特当且仅当对所有$\mathfrak p$的符号幂有$\ell(\mathfrak p^{(n)})=3$，且当且仅当对$\mathcal I$的所有截断$\mathcal I_a$有$\ell(\mathcal I_a)=3$。