理想的符号幂及其在模上的拓扑

令 $I$ 表示诺特环 $R$ 的一个理想，$N$ 为非零有限生成 $R$-模。本文给出了若干充要条件，以判定 $N$ 上的 $I$-进拓扑何时等价于 $N$ 上的 $I$-符号拓扑。此外，我们将对 R. Hartshorne 在[《仿射对偶与余有限性》，Invent. Math. {\bf9}(1970), 145-164]中提出的问题，针对局部诺特环 $R$ 中维数为 1 的素理想 $\frak p$，给出完整解答：证明 $N$ 上的 $\frak{p}$-进拓扑等价于 $N$ 上的 $\frak{p}$-符号拓扑，当且仅当对所有 $z\in \Ass_{R^*}N^*$，存在 $\frak{q}\in \Supp(N^*)$ 使得 $z\subseteq \frak{q}$ 且 $\frak{q}\cap R=\frak{p}$。同时证明，若对每个满足 $\dim R/\mathfrak{p}=1$ 的 ${\mathfrak{p}}\in \Supp(N)$，$N$ 上的 $\mathfrak{p}$-进拓扑与 $\mathfrak{p}$-符号拓扑均等价，则 $N$ 是未混合的且 $\Ass_{R} N$ 仅有一个元素。最后，我们证明若对所有 ${\mathfrak{p}}\in {A^*}(I,N)$，$\Ass_{R_{\mathfrak{p}}^*}{N^*_{\mathfrak{p}}}$ 由单个素理想构成，则 $N$ 上的 $I$-进拓扑与 $I$-符号拓扑等价。