湍流反常指数的解析计算：利用融合规则引出一个小参数

流体湍流统计理论的主要困难在于缺乏明显的小参数。本文中我们证明，先前建立的融合规则可用于发展一种理论，其中 Kolmogorov 1941 年统计作为零阶或背景统计，而第 $n$ 阶结构函数的 K41 标度指数 $\zeta_n$ 的反常修正可解析计算。该方法的关键在于基于融合规则重整化一个4点相互作用振幅。其新颖之处在于该振幅包含一个小的无量纲参数，被证明约为 $\zeta_2$ 的反常量 $\delta_2= \zeta_2-2/3\approx 0.03$。高阶相互作用振幅被证明更小。对 K41 到 $O(\delta_2)$ 的修正源于标准对数发散阶梯图，其中4点相互作用作为“横档”。该理论允许以小块参数 $\delta_2$ 的幂计算反常指数 $\zeta_n$。标度指数 $\zeta_n$ 的 $n$ 依赖性源于阶梯图的纯组合性质。我们计算了直至 $O(\delta_2^3)$ 的指数 $\zeta_n$。先前导出的桥关系允许用同一参数 $\delta_2$ 计算耗散场关联及动力学关联的反常指数。从小参数 $\delta_2$ 由第一性原理实际求值需要额外发展，超出本文范围。