球面极小表示之Brylinski-Kostant模型分析

我们从另一个视角重新审视R. Brylinski和B. Kostant对单李群极小表示的构造。我们从一对$(V,Q)$出发，其中$V$是复向量空间，$Q$是$V$上的四次齐次多项式。流形$\Xi$是$(V,Q)$的共形群${\rm Conf}(V,Q)$的覆盖群在有限维表示空间中的一个轨道。通过广义Kantor-Koecher-Tits构造，我们得到一个复单李代数$\goth g$，进而得到一个实形式${\goth g}_{\bboard R}$。具有${\rm Lie}(G_{\bboard R})={\goth g}_{\bboard R}$的连通单连通李群$G_{\bboard R}$在定义于流形$\Xi$上的全纯函数希尔伯特空间上酉作用。